Die Sonnenfee

Wer im Hochsommer zur Mittagsstunde draußen in Feld und Heid‘ die Sonnenfee gesehen und in ihre blauen Augen geschaut, der gehört zu den Sonnenkindern auf Erden. Denn ihre leuchtenden Augen scheinen gerade ins Herz hinein, dass es froh und stark wird. 

So ein Glückskind war der Friedel. Seine Mutter legte ihn ins Gras, als er noch ein Wickelkind war, er strampelte die Beinchen bloß und krähte in das Sonnenwetter hinein. Da beugte sich die liebliche Fee über ihn und gab ihm die Himmelsgabe mit auf den Lebensweg. Und er ward ein gesunder froher Bursche, hilfsbereit und freundlich, hatte ihn jeder im Dorfe gern. Als er groß war, arbeitete er für zwei, es war eine Freude ihm zuzusehen. So hatte sich Friedel an einem heißen Erntetag in den Schatten eines Baumes gestellt, um ein wenig auszuruhen. Da stand mit einem Mal die Sonnenfee vor ihm, dass er ordentlich erschrak, auch vor dem wunderbaren Leuchten, das ihr aus Augen, Haar und Kleidern ausstrahlte. Sie sah sein Erschrecken und legte beruhigend die Hand auf seinen Arm, indem sie ihm warm in die Augen schaute, sodass er wieder ganz ruhig wurde. 

 „Grüß Gott mein Patenkind, wie bist du groß und schön geworden“, redete ihn die Fee an. „Seit du als Wickelkind hier auf diesem Platze in dem Sonnenschein gelegen, habe ich dich nicht mehr gesehen. Damals legte ich dir als Patengeschenk einen Sonnenstrahl ins kleine Herz und bist groß und froh geworden, so recht eine Augenweide für dein Mütterchen und deine Nächsten. Und stark bist du dazu, wie kräftig deine Arme sind. Könntest du mir einen Dienst leisten?“ 

 „Wenn es mir möglich ist, liebe Frau, bin ich am Abend gleich bereit ihn zu tun“, antwortete Friedel. 

 „Er ist nicht so leicht, es gehört ein unerschrockenes mutiges Herz dazu“, sagte die Fee, „waffne dich damit und komme hier an dieser Stelle wollen wir uns treffen.“ 

Nach dem Abendbrote ging Friedel unter den alten Nussbaum um auf die Fee zu warten. Groß und voll ging der Mond im Osten auf, der Nachtwind strich leise über die Felder, und das Grillchen zirpte unermüdlich sein Sommerlied. Im Baume zwitscherte noch ein Vöglein im Schlafen; Friedel stand ganz befangen vom Zauber der Sommernacht unter demselben. 

Da sah er ein junges Mädchen daherkommen. Augen so groß und leuchtend wie die der Fee, nur voller Angst und horchend, schaute sie bei jedem Schritte in die Nacht hinein. Mit einem Male schien sich der Mond zu verdunkeln, so groß fiel ein Schatten über die Felder und ein Zittern durch die Luft, ein angstvoller Aufschrei, und das zarte Mädchen lag vor Friedels Füßen. 

 „O rette, rette mich vor diesem Ungetüm“, rief es verzweifelt, denn schon näherte sich ein starker finsterer Mann, der seine Augen begehrlich auf das Mädchen heftete. Friedel zog das Mädchen an sich, legte schützend seinen Arm um es, indem er unerschrocken den finsteren Mann anschaute. „Was berührst du fremdes Eigentum“, rief der Mann, „das Mädchen ist mein und keine Macht der Erde soll es mir entreißen. Ich habe es zugesprochen bekommen, als es noch klein war, wahrhaftig lange genug warte ich schon darauf.“ 

 „Das Mädchen sucht Schutz bei mir, trotzt deiner Rede“, sagte Friedel ruhig, „dann muss dein Recht über es nicht groß sein.“ 

 „Was brauch ich dir junges Bursche Antwort zu geben, gib mir das Mädchen her oder es ergeht dir schlecht“, schrie der Mann. 

 „Was gedenkst du zu tun, wenn ich dir das Mädchen nicht gebe“, fragte Friedel ruhig. 

 „Das Mädchen ist mein“, antwortete der Mann, „ich habe es schon einmal gesagt, außer du erfüllst meine Bedingungen und die sind euch schwächlichen Menschen nicht möglich. So höre nun was ich dir sage: Ich bin der Berggeist der unbesteigbaren Alpen und wilden Schluchten und mein Lachen dröhnt, wenn so ein elendes Menschenkind in seinem Größenwahn sie überwinden will und mir zum Opfer in die fürchterlichen Schluchten fällt. Mit der Sonnenfee, dieses Mädchens Mutter, bin ich schon lange im Händel. Sie will die Sonne bestimmen, dass sie meine Berge öfters beleuchtet, bis in die tiefsten Schluchten, um meine Opfer zu entdecken. Nun hatte sie es an einem heißen Sommer fertiggebracht, der Menschen Schritte mit der Sonne besser zu beleuchten und zu beschirmen, dadurch wurden die Opfer viel weniger für mich. Ich aber lasse mir in meinem Reiche nichts gefallen und beschloss daher mich zu rächen. Ich wusste, dass sie ein kleines Mädchen in ihrem Schlosse barg, an der ihr Herz hing. Dieses Kind wollte ich ihr heimlich rauben. Als ich in ihr Schloss kam war es die Zeit, da die Sonne hinter die Berge ging und vollständige Dunkelheit herrschte, sodass ich im Schlosse stand und keinen Ausweg wusste. Denn du musst wissen die Sonnenfee hängt ganz von der Sonne ab; sobald die Sonne nicht scheint, ist die Fee lichtlos und grau wie ein Schatten und so auch ihre Umgebung. Ich tappte im Dunkeln herum, als ich mit einem Male eine Stimme leise fragen hörte: ‚Was suchst du finsterer Berggeist im Sonnenschloß?‘

 ‚Ich suche das Kind der Fee, um mich zu rächen‘, antwortete ich. 

 ‚Unser Kindchen so zart und fein, seinem Vater dem Monde ähnlich. Was hat es dir getan?‘ 

 ‚Nichts, aber ich will es haben‘, war meine Antwort. 

 ‚Gut so suche in dieser Finsternis herum und du wirst zu keinem Ende kommen. Gehe lieber heim und lasse die Fee in Ruhe. Oder ich will dir etwas sagen: In ein paar Jahren ist das Kindchen groß und du sollst es als deine Braut bekommen, wenn es dir gelingt an seinem 18. Geburtstage in der Mondnacht an dem großen Nussbaume, bevor es noch ein junger Mann im Arme hält, zu holen.‘

Darauf hörte ich nichts mehr von der Stimme und ich tappte im Dunkeln aus dem Schlosse. – Du bist mir nun zuvor gekommen. Doch ich habe ältere Rechte und bin der Stärkere: In meiner Macht steht es dich zu vernichten, gehst du nicht auf meine Bedingungen ein. Höre weiter: Kein Mensch hat je den Gipfel des Schreckhorn bestiegen, die aller waghalsigsten nicht. Es ist der höchste und gefährlichste Berg in meinem Reiche. – Hast du den Gipfel bis zum Sonnenaufgang erreicht und bist zur Mittagsstunde wieder hier an dieser Stelle, dann gehört die Braut dir, dann habe ich keine Macht mehr über dich.“

 „Es ist gut“, sagte darauf Friedel, „ich rüste mich sofort zum Gehen, denn so wahr das Recht über das Unrecht siegt, so wahr wird mir Gott zur Seite stehen: Nur eins, mein Ziel erreichen, musst du mir noch versprechen, dass du das Mädchen unberührt nach Hause gehen lässt.“ 

Darauf nahm er von dem Mädchen Abschied, fasste seinen Stock fest in die Hand und ging guten Mutes in die Mondnacht hinein. Hinter sich hörte er des finsteren Berggeistes spöttisches Lachen, doch er schaute sich nicht um, ging unbeirrt und ohne Aufenthalt bis an den Fuß des Alpenriesens, der in majestätischer Einsamkeit wunderbar von Mondlicht beleuchtet empor ragte. Hier machte er Rast; schöpfte aus einer nahen Quelle Wasser um sich zu erquicken und fand dabei einen Pfad, der durch saftige Wiesen sich höher in das Gebirg hinaufschlängelte. Höher, immer höher stieg er hinauf. Die Wiesen und Sennehütten hatte er schon längst hinter sich. Über Stein und Geröll, über tiefe Schluchten und Eisfelder magisch vom Mondschein beleuchtet schritt er dahin. Kein Laut in dieser herrlichen Sommernacht, nur ab und zu das Klagen eines Käuzchens. Jetzt kletterte er mit Händen und Füßen eine hohe Felswand hinauf, jeder Fehltritt konnte ihm den Tod bringen. 

Da, mit einem Male, verdunkelte sich die Wand, eine mächtige Lawine stürzte auf ihn, riss ihn mit in eine fürchterliche Schlucht, wo er besinnungslos liegen blieb. Wieder tiefe Stille, kein Laut in dieser schrecklichen Einsamkeit. 

War das nicht eines Glöckleins Klingeln? – Ja richtig, eine weiße Gemse mit einem Glöckchen am Halse kam daher. Auf ihr ritt ein wunderschönes Mädchen im zarten Mondscheinkleid und großen Sonnenaugen. Suchend irrten ihre Augen umher, bis sie Friedel entdeckten. Mit einem leisen Schrei sprang sie von der Gemse und schaffte ihn mit vieler Mühe aus der Schneemasse heraus. Die Tränen rollten ihr über die Wangen, als sie das blasse Haupt vorsichtig in die Höhe hob, um ihm aus einem Fläschchen stärkenden Wein einzuschütten. Fest rieb sie ihm auch Stirn und Wangen, bis er endlich die Augen öffnete. Ganz verständnislos schaute er um sich. Der ganze Körper schmerzte ihm. Und ihm war kalt. Aber das Mädchen legte ihm einen Mantel um die Schulter, der wärmte ihn. „Nimm dieses Schwert“, flüsterte sie, „das wirst du brauchen.“ 

Sie legte ihm ein Amulett um den Hals, da begann er von innen heraus zu leuchten. 

 „Der Sonnenstrahl“, hauchte er. 

 „Du musst dich beeilen“, sagte sie, „oben ist es stockdunkel.“ 

 „Wer bist du“, fragte er. 

 „Ich bin die Tochter des Berggeistes. Er hat mich nach meiner Geburt in eine Höhle gelegt, in der ein garstiger Bär hauste. Aber der gute Mond hat mich gefunden. Ich bin daher aber für immer verdammt in den Bergen zu leben“, sagte sie, „geh, eh es zu spät ist.“ 

Und der Friedel kletterte weiter, vom Sonnenstrahl angetrieben. Aber bald drauf kam er zu einer riesigen Schlucht, über die keine Brücke führte. Er fand einen Stein, auf dem stand:

Nur der, der ein reines Herz hat, wird einen Weg finden die Schlucht zu überqueren. 

Er fand einen kleinen Falken – halb erfroren war er – und steckte ihn unter seinen warmen Mantel. Ein Stein polterte hinab und er rettete gerade so noch eine kleine Spinne. 

 „Wie soll ich’s dir danken“, fragte die Spinne. 

 „Ich komme hier nicht herüber. Kannst du mir helfen“, fragte er. 

 „Wenn ich nur fliegen könnte“, sagte die Spinne. 

Da mischte sich der Falke ein. „Ich könnte dich herüberfliegen“, sagte er. Und so machten sie es. Die Spinne holte einige Freunde herbei und alle wurden vom Falken hin und zurück geflogen, bis es eine Brücke aus Spinnweben gab. Der Friedel probierte es aus. Sie hielt ihn und sie konnten weiter. Sie kamen in eine Bärenhöhle und kämpfen mit einem garstigen Bären. Zuletzt kamen sie an einen vollkommen dunklen Ort und konnten sich nur an Friedels Licht orientieren. Plötzlich stolperte Friedel über eine Erhebung im Boden. Ein Tor öffnete sich und die drei gingen durch. Viele Treppen führten hoch zum Gipfel. 

 „Du musst dich beeilen“, sagte der Falke. „Es wird langsam hell.“ 

Er rannte die Treppen hoch. Dort war ein Stein voller Runen mit einem Loch mit der Form des Amuletts. Er zog es aus, steckte es hinein. Ein gleißender Lichtstrahl traf auf das Amulett. Die Sonne wanderte schneller als je zuvor. Er musste sich beeilen. Als er das Amulett berührte, floss ein güldener Fluss die Alpen hinab. Darauf schwamm ein Boot. 

 „Steige in das Boot“, riet ihm die Spinne. 

 „Freunde“, sagte er, „ich lasse euch hier. Es tut mir leid aber ihr lebt ja hier.“ 

 „Ich werde dich dorthin fliegen, wohin du willst“, sagte der Falke zur Spinne. 

 „Bis bald“, riefen beide. 

 „Bis bald“, rief auch der Friedel, als er ins Boot stieg. Er fuhr den güldenen Fluss hinab. 

Gerade als die Sonne knapp vor dem Zenit stand, kam er an. Der Berggeist war geblendet. 

 „Nun musst du sie freigeben“, sagte der Friedel. 

 „Ja, aber ich habe nicht gesagt, ob lebend oder tot“, sagte der Berggeist. Er riss dem Friedel das Schwert aus der Hand und wollte die Tochter der Fee damit umbringen. Als das Schwert aber ihren Hals berührte, wurde es wieder gleißend hell, und als man wieder etwas sehen konnte, war der Berggeist zu Stein erstarrt und aus seiner Jacke flogen Vögel, die sich in Menschen verwandelten.

Die Sonnenfee erschien. „Danke“, sagte sie. „Wenn ihr wollt, dürft ihr auch heiraten.“

 „Ja“, sagten beide. Und so leben sie glücklich bis die Sonne eines Tages erlischt. 

Ende

Die Schärfe und Klarheit der Mathematik macht sie zu einem bevorzugten Betätigungs-, insbesondere Reflexionsfeld der theoretischen Philosophie. Logik und Wissenschaftstheorie haben in ihr offensichtlich ihr Paradigma, die Erkenntnistheorie müht sich bis heute mit begrenztem Erfolg, das Faszinosum der Anwendbarkeit der Mathematik auf die Außenwelt schlüssig und umfassend zu erklären, und die allgemeine Ontologie stellt oft genug fest, dass ihre Probleme und Fragen ihr Pendant in der Mathematikphilosophie haben, und in diesem Bereich dann viel schärfer und klarer hervortreten. 

So verhält es sich z.B. mit dem Realismus-Antirealismus-Problem. Der uralte Streit darüber, inwiefern die Welt unabhängig von unserer Wahrnehmung und unserer gedanklichen Konstruktion existiert, wurde in der Mathematik in dem Moment virulent, als die Karriere einer Begriffsbildung begann, zu der es keine sie voll ausschöpfende gedankliche Konstruktion gibt: 

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar, wir Menschen aber können nur abzählbare Mengen konstruieren. Jene Menge muss also, wenn sie denn überhaupt existiert, unabhängig von uns existieren, so schien es, denn wir können sie ja nicht erzeugen. Der Realismus hat also gewonnen. – Es sei denn, man leugnet die Existenz der Menge der reellen Zahlen! Dieser Streit war also schon in seinen Anfängen im 19. Jahrhundert und dann umso mehr bei seiner die Wissenschaftswelt im Ganzen beschäftigenden Eskalation um 1920 kein rein philosophischer, sondern er zog die Frage nach der „richtigen“ Mathematik nach sich: 

Geht in „Cantors Paradies“1 der mengentheoretisch fundierten Mathematik alles mit rechten Dingen zu? Darf man das nichtkonstruktive Auswahlaxiom verwenden? Ist alles, was sich mittels der Mengensymbolik, mittels „Komprehension“ definieren lässt, ein zulässiger Gegenstand der Mathematik? ( – Nein! zeigte schon Russells Antinomie: Unbeschränkte Mengenkomprehension führt zu logischen Widersprüchen.)
Ja selbst ein eherner logischer Grundsatz, das tertium non datur, galt nun als Mittel der mathematischen Beweisführung als zweifelhaft: Darf man von einer mathematischen Aussage, zu der man weder einen Beweis noch eine Widerlegung kennt, trotzdem davon ausgehen, dass sie wahr oder falsch ist? Nimmt man damit nicht etwas vorweg (den ausstehenden Beweis oder die Widerlegung), worüber man vielleicht nie verfügen wird, und verfälscht man damit die Mathematik nicht möglicherweise? Ja gibt es nicht bereits Beispiele von im Verdacht des groben Unfugs stehenden „mathematischen“ Sätzen, deren „Beweis“ nur durch die Verwendung des Auswahlaxioms, der Mengenkomprehension oder des tertium non datur möglich wurde?  (Man denke an das Banach-Tarski-Paradox.)

Der Horror weiterer Antinomien, also weiterer logischer Widersprüche innerhalb der Mathematik, trieb die Gemeinde um. Zwar waren die Köpfe, die ernsthaft eine Beschneidung der Mathematik forderten, an einer Hand abzuzählen, aber die Anzahl derer, die sich selbstbewusst ihrer Wissenschaft vertrauend dagegen stellten, war nicht viel größer. So waren es im wesentlichen der Konstruktivist Brouwer und der Cantorianer Hilbert, die sich zehn Jahre lang beharkten, zehn Jahre, an deren Ende die klassische Mathematik und damit Hilbert als Sieger hervorging. Seitdem führt die konstruktive Mathematik ein Schattendasein, die klassische Mathematik hat sich gut erholt, die noch von Hilbert angestoßene „metamathematische“ Sanierung des einsturzgefährdeten Baues der Mathematik hat ganze Arbeit geleistet: Zwar gibt es bis heute keinen umfassenden Widerspruchsfreiheitsbeweis, aber der ganze Bau erscheint heute so ordentlich fundiert und bewährt, dass niemand mehr ernsthaft Angst hat vor Widersprüchen. Einige Beweistheoretiker, wie sich die Metamathematiker heute lieber nennen, sagen sogar, sie hätten während der Sanierung festgestellt, dass die Statik des Baues es mittlerweile zulasse, einen großen Teil des Fundaments einfach wegzuhauen, unter anderem all jenes, was früher die vom Einsturz bedrohten Teile getragen habe. Diese Teile und damit die gesamte Mathematik ruhten inzwischen ganz solide auf dem wahren Fundament, und dieses werde gebildet durch eine erstaunlich sparsame Theorie, einer Erweiterung der elementaren Arithmetik, welche aber noch „prädikativ“2 sei, d.h. auch für Konstruktivisten akzeptabel. Der alte Schein, nur Realisten dürften die Menge der reellen Zahlen benutzen, scheint widerlegt.

Das Dumme ist nun, dass die Statik des Baues, von der die Beweistheoretiker diese wundersamen Dinge behaupten, so kompliziert ist, dass deren Behauptungen kaum jemand nachvollziehen kann, die meisten Mathematiker und Mathematikphilosophen stehen schlicht vor der Wahl: Glauben oder nicht Glauben.3 Und da macht es sich nicht so gut, dass die Beweistheoretiker – was in gewisser Weise für ihre wissenschaftliche Redlichkeit spricht – gelegentlich Unsicherheit in ihren Formulierungen zeigen, ob denn wirklich alles durch ihr Restfundament gehalten wird; ob sich wirklich jeder mathematische Satz aus jener prädikativen Theorie beweisen lässt.4

Doch auch, wenn noch nicht vollauf erwiesen ist, dass sich alles Wichtige auf einer schmalen prädikativen Basis beweisen lässt, gebührt den Leistungen der Beweistheoretiker große Anerkennung; schließlich ist offenbar auch kein wichtiger mathematischer Satz bekannt, von dem erwiesen wäre, dass er sich nicht auf dieser Basis beweisen lässt. Wer hier die Beweislast trägt – die Prädikativisten oder ihre Kritiker –, ist ungeklärt. 

Die Beweistheoretiker liefern damit gute Argumente, wenn auch noch keinen Beweis dafür, dass die gesamte Mathematik prädikativ begründbar, also auch für Anti-Realisten akzeptabel ist. Es hätte demnach keine Konsequenzen für die mathematische Praxis, ob man nun Realist oder Anti-Realist ist. Das ist eigentlich eine gute Nachricht. Die beweistheoretischen Argumente selbst sind in ihren philosophischen Voraussetzungen auch sehr sparsam, so dass sie als neutral gelten können. Die Mathematikphilosophie ist damit Privatsache des Mathematikers, auf seine Berufsausübung hat sie keinen Einfluss. Merkwürdig wäre aber, wenn ein Mathematikphilosoph kein Wort dazu sagen würde, welcher Seite er angehört. Man müsste ihn dann fragen, ob die Debatte es aus seiner Sicht gar nicht wert sei, daran teilzunehmen. Konkreter: War der Gedanke, dass es besonders lohnend ist, philosophische Probleme in ihrer die Mathematik betreffenden Variante zu studieren, ein Irrtum? Oder ist das (Anti-)Realismus-Problem im Ganzen überflüssig, nur ein Scheinproblem? Letzteres wird kaum ein Philosoph behaupten wollen. Und ich glaube auch, dass die mathematikphilosophische Variante sehr wohl die gut 100 Jahre gelohnt hat, die man sich darüber bereits den Kopf zerbrochen hat. Die Frage nach der richtigen Mathematik war vor 100 Jahren eine sehr ernste Sache, die Russellsche Antinomie hatte in der Tat etwas Bedrohliches. Die Versuche von Zermelo und Hilbert auf der Seite der Realisten, Brouwer und später Lorenzen auf der anderen Seite, eine Grundlegung der Mathematik bereitzustellen, waren alle philosophisch fundiert und hatten das Ziel, den Grundlagenstreit zu beenden mit dem Sieg der eigenen Seite. Gewonnen hat Hilbert allerdings nur die Mathematik betreffend, nicht aber in philosophischer Hinsicht, also nicht für den Realismus. Wie eigentlich immer in philosophischen Auseinandersetzungen hat sich auch hier keine der Seiten endgültig durchgesetzt, es hat vielmehr eine Annäherung stattgefunden, die sich – wie bereits oft geschehen – recht gut mit den Vokabeln des alten Universalienstreits charakterisieren lässt. Ausgangspunkt des Konvergenzprozesses waren die Extrem-Positionen von Platonismus und Nominalismus bzgl. mathematischer Gegenstände. Nach ersterem bilden diese einen Teil der Ideenwelt, die unabhängig vom Menschen, ja sogar unabhängig von Zeit und Raum existiert; der Mensch kann lediglich, indem er sich zum Mathematiker ausbilden lässt, an den mathematischen Ideen „teilhaben“. Diese Auffassung entspricht den meisten Mathematikern, weil in ihr die Erfahrung der absoluten Objektivität und Unbedingtheit der Mathematik Ausdruck findet. Laut Nominalismus gibt es mathematische Gegenstände eigentlich überhaupt nicht; es gibt nur die Gegenstände der empirischen Außenwelt. In unserem Erfassen der Außenwelt benutzen wir Sprache, und diese enthält u.a. auch Wörter für mathematische Eigenschaften der Gegenstände. Der Nominalist gesteht bestenfalls zu, dass mathematische Gegenstände existieren, insofern wir sie benennen. In der ersten Runde der Auseinandersetzung um 1880 vertrat Cantor eine platonistische, Kronecker eine im Bezug auf die reellen Zahlen nominalistische Auffassung.5 Die Extrempositionen waren in der Hauptrunde des Streits schon deutlich näher zusammengerückt: Brouwer vertrat mit seinem Intuitionismus (in der Sprache des Universalienstreits) einen „Konzeptualismus“, dem zufolge mathematische Gegenstände zwar nicht unabhängig vom Menschen existieren, aber immerhin eine geistige, von der Sprache unabhängige Realität besitzen. Hilbert war zwar bezüglich mathematischer Gegenstände Realist, kam aber auf die raffinierte Idee, dies auf einer Metaebene mittels wiederum mathematischer Methoden zu rechtfertigen – z. B. durch Widerspruchsfreiheitsbeweise –, und auf dieser Metaebene eine strikt nominalistische, also antirealistische Position zu vertreten.

Einen weiteren Annäherungsschritt tat Lorenzen, der den Konzeptualismus Brouwers sprachlich wendete und mit den Rechtfertigungsstrategie Hilberts verband. Er kam damit der klassischen Mathematik schon erheblich näher als seine antirealistischen Vorgänger. 

Auf realistischer Seite haben Vertreter der Unverzichtbarkeitsargumente mit der Rede vom „besten Vorschlag“ pragmatische und darin gar ästhetische Kriterien eingearbeitet und damit im Hinblick auf die (Un-)Abhängigkeit der Mathematik vom Menschen durchaus Zugeständnisse gemacht. Außerdem haben sie mit der Bindung an Anwendungsrelevanz einen großen Schritt in Richtung Empirie unternommen. Der Realismus in der Mathematikphilosophie hat sich damit vom Rationalismus in Richtung Empirismus bewegt, der Anti-Realismus in entgegengesetzter, d,h, entgegenkommender Richtung: Während der frühe Anti-Realismus im Empirismus wurzelte6, war Brouwer bereits entschiedener Rationalist.

Schließlich hat die philosophisch neutrale Beweistheorie den Eindruck verstärkt, den schon Lorenzen vermittelt hat, dass die Auswirkungen des philosophischen Standpunkts auf die Mathematik weit weniger groß sind, als zunächst angenommen. Der Rechtfertigungsversuch der klassischen Mathematik, d.h. der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre mit Auswahlaxiom ZFC, den der Verfasser unternommen hat, ist vom anti-realistischen Ufer ausgegangen und hat ebenfalls gezeigt, dass der Graben überwunden werden kann. Der Unterschied – so zeigt sich hier – besteht nur darin, dass die Anti-Realisten erkenntnistheoretische Grenzen ernster nehmen, was man innerhalb mathematischer Formalismen auch auszudrücken versuchen könnte. Solche erkenntnistheoretischen Elemente wären dann aber ein Ausdruck für das Mathematik-betreibende Subjekt, und dies läuft dem gängigen Verständnis von Mathematik als objektiver Wissenschaft zuwider.

So stellt sich aus heutiger Sicht der Eindruck eines eklatanten Gegensatzes zwischen mathematischem Realismus und Anti-Realismus als Irrtum heraus, der überwunden worden ist. Es wäre jedoch völlig verfehlt, den Streitpunkt deshalb als bloßes „Scheinproblem“ abzutun, denn der lange Streit hat sich als außerordentlich fruchtbar erwiesen. Es musste sehr viel Arbeit während der allmählichen Annäherung geleistet werden, um nun schließlich bei der Erkenntnis zu landen, dass alle Philosophen gleichermaßen die reellen Zahlen verwenden können, ihre jeweilige Verwendungsweise eben nur manchmal etwas unterschiedlich interpretieren müssen. Diese unterschiedlichen Interpretationen werden auf eine Frage wie die, ob es undefinierbare reelle Zahlen gibt, vermutlich immer unterschiedliche Antworten nach sich ziehen, aber diese Frage ist vielleicht wirklich ein Scheinproblem ganz im Sinne Wittgensteins: Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen. 

Letztlich sollte sich herausstellen, dass sich die ganze Grundlagendebatte auf die Frage reduziert, ob man sich mehr auf die Seite des (mathematischen) Objekts oder die des (mathematischen) Subjekts stellt. Beides sind die Seiten ein und derselben Medaille, genannt „Erkenntnis“. In dem Gang der Annäherung, den man „dialektisch“ nennen kann, wenn man möchte, hat das sich Reiben der beiden Lager aneinander die Widersprüche allmählich aufgelöst. Wie beim Schleifen zweier Körper aneinander ist am Ende, wenn alle Widerstände abgeschliffen sind, der eine schlicht das Negativ des anderen.

Dieses Prinzip für den Grundlagenstreit, ja vielleicht die Philosophie allgemein als „Bewegungsprinzip“ anzuerkennen, und damit letztlich über das alte Lagerdenken hinauszukommen, ist noch nicht vollbracht. Noch immer hat man in der philosophischen Landschaft häufig das Gefühl, man befinde sich inmitten eines erbittert geführten Stellungskrieges, in dem kaum Bewegung herrscht, aber die einzige Hoffnung auf ein Ende des Krieges nur darin bestehen kann, dass eine der Seiten die andere besiegt. Dass man sich nicht bekriegt, sondern aneinander reibt, um dadurch letztlich zur Auflösung von Widersprüchen und damit zum wissenschaftlichen Fortschritt zu gelangen, bedeutet, dass man einander bedarf. Diese Einsicht zum breiten Konsens werden zu lassen, ist eine Frage der Gewohnheit, vielleicht auch des philosophischen Stils.

Während Beweistheoretiker als Angehörige der mathematischen Fakultät natürlich keine philosophische Position beziehen müssen, sondern sich damit begnügen können, Fakten zu liefern, hat ein Philosoph immer eine Position und sollte diese auch klarstellen, quasi als Index zu seinen Ausführungen, als Orientierung für den Leser – nicht, um ihn einem der Lager zuordnen zu können und ihn damit je nachdem entweder von vorneherein abzulehnen oder sich mit ihm zu identifizieren, sondern um einordnen zu können, von welcher Seite des gemeinsamen Projekts da gerade geschliffen wird.

1 Von David Hilbert stammt der berühmte Satz: „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.“

2 Prädikative Systeme schränken die Anwendung der Mengenkomprehension in einer Weise ein, so dass die Bildung sogenannter „imprädikativer Begriffsbildungen“ unmöglich wird. Letztere wurden schon um 1900 herum von konstruktivistischer Seite kritisiert, weil sie zwar nicht logisch zirkulär, aber sozusagen ontologisch zirkulär sind: Sie setzen typischerweise zur Definition eines mathematischen Objekts A ein anderes Objekt B voraus, welches das Objekt A bereits als Element enthalten soll oder es in anderer Weise voraussetzt.

3 Wäre hingegen ein solches prädikatives Basissystem bereitgestellt, so hätte es – wie vor knapp 100 Jahren die ZFC – zunächst zwar rein formalen Charakter, wäre kaum mehr als ein abstrakter Symbolismus. Es wäre aus meiner Sicht aber durchaus vorstellbar, dass sich die Mathematiker damit anfreundeten, indem sie den Axiomen, insbesondere den enthaltenen Grenzziehungen einen intuitiven Sinn gäben, und dass damit die ZFC abgelöst würde – deren Axiome im übrigen einen solchen intuitiven Sinn durchaus haben, was m.E. einen wichtigen Teil des Erfolgs der ZFC ausmacht. Dann wäre das System der „beste Vorschlag“ zur Begründung der Mathematik, und zwar nicht nur geltungstheoretisch, sondern auch im Sinne der Eleganz und der Attraktivität.

4 Ich selbst habe in meiner Dissertation erfahren müssen, was für einen formulatorischen Eiertanz es bedeutet, wenn man in einer wissenschaftlichen Arbeit die Tragweite jener beweistheoretischen Errungenschaften referieren und damit argumentieren möchte. Das grässlich Wörtchen „weitgehend“ oder noch schlimmer „weitestgehend“ muss da immer wieder herhalten. Glücklicherweise beruhte in meinem Fall die wissenschaftliche Gesamtaussage letztlich nicht auf der Beweistheorie, sondern auf einer eigenen davon unabhängigen Rechtfertigungsstrategie.

5 „Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.“

6 So benennt Paul DuBois-Reymond in einem Dialog innerhalb seiner Allgemeinen Functionentheorie aus dem Jahr 1882 den Anti-Realisten als „Empirist“ und seinen Opponent als „Idealist“. In den mathematikphilosophischen Diskussionen hundert Jahre später wird als Idealist üblicherweise der Anti-Realist bezeichnet, weil für diesen die mathematischen Gegenstände nur im menschlichen Geist als „Ideen“ existieren, für den „Realist“ hingegen in einer vom Menschen unabhängigen Realität.